Question

設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)F（x）=f （x）g（x），由條件可得F（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，得F（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)．由g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知F（x）＜0的解集．

解答： 解：設(shè)F（x）=f （x）g（x），當x＜0時，?∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＜0，
∴F（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．?
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）=-F（x），故F（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．?
∴F（x）在（0，+∞） 上亦為減函數(shù)．
已知g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，

可知F（x）＜0的解集為x∈（-2，0）∪（2，+∞）．?
故選：D．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．