Question

f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
（1）若f（1+2x）+f（1-x）＜0，求x的取值范圍；
（2）若f（x²+1）+f（m-x）＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先將f（1+2x）+f（1-x）＜0，變形為f（1+2x）＜-f（1-x）的形式，再利用奇函數(shù)性質(zhì)去掉外面的“-”，最后利用單調(diào)性列出x的不等式；
（2）仿照（1）的方法將原式進(jìn)行變形，最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于x的不等式恒成立問題，通過分離常數(shù)求解．

解答： 解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，又當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，所以該函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)．
（1）由f（1+2x）+f（1-x）＜0得f（1+2x）＜-f（1-x）=f（x-1），結(jié)合該函數(shù)在R上遞減，所以1+2x＞x-1，解得x＞-2；
（2）由f（x²+1）+f（m-x）＜0得f（x²+1）＜-f（m-x）=f（x-m）恒成立，結(jié)合該函數(shù)在R上遞減，所以x²+1＞x-m在R上恒成立，即m＞-x²+x-1恒成立，
只需m＞（-x²+x-1）_max即可，而y=-x2+x-1=-(x-

1

2

)2-

3

4

≤-

3

4

，
故m＞-

3

4

即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)條件下的不等式問題，一般是利用奇偶性結(jié)合單調(diào)性將（　�。┤サ�，化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的不等式最終求解．