已知關于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α、β，
證明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.
證明略
證明:(1）充分性：由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.
設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性:
由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.
∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根.
∵α，β是方程f(x)=0的實根，
∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知a為實數(shù)，函數(shù)
（I）若函數(shù)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）當時，對任意恒成立，試求m的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求實數(shù)的取值范圍，使關于的方程
⑴有兩個實根，且一個比2大，一個比2小；
⑵有兩個實數(shù)根，且都比1大；
⑶有兩實數(shù)根，，且滿足；
⑷至少有一個正根．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=logm
(1)若f(x)的定義域為［α，β］，（β＞α＞0），判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；
(2)當0＜m＜1時，使f(x)的值域為［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定義域區(qū)間為［α,β］(β＞α＞0)是否存在？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)對一切實數(shù)均有成立，
且.
（1） 求的值；
（2）求解析式；
（3）當恒成立時，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)y=x+的值域是( )
A．(－∞,1B．(－∞,－1C．RD．［1,+∞

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的點時，點Q(x－2a,－y)是函數(shù)y=g(x)圖像上的點.
(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；
(2)若當x∈［a+2,a+3］時，恒有|f(x)－g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若、，，有；
（1）判斷函數(shù)在上的單調性，并證明你的結論；
（2）若≤對所有的、恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

建造一個容積為立方米，深為米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米元，池底的造價為每平方米元，把總造價（元）表示為底面一邊長（米）的函數(shù)。

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