Question

3．設(shè)點A（x，y）在區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$上，點B（y，-x），設(shè)向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，則點C構(gòu)成的幾何圖形的面積是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知向量等式可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），設(shè)C（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，作出可行域，利用三角形面積公式求得答案．

解答 解：∵A（x，y），B（y，-x），
∴向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），
設(shè)C（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{y-x=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．
代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，
作出可行域如圖：

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得C（3，-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得B（3，1），
又A（2，0），
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}×2×1=1$．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．