【題目】已知拋物線:()的焦點是橢圓:()的右焦點,且兩曲線有公共點
(1)求橢圓的方程;
(2)為坐標(biāo)原點,,,是橢圓上不同的三點,并且為的重心,試探究的面積是否為定值.若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)將點代入拋物線得拋物線焦點,進(jìn)而得橢圓中,再將點代入橢圓求解即可;
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,得;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線:,與橢圓聯(lián)立得:,設(shè),由韋達(dá)定理得,為的重心, ,點點在橢圓上,所以代入橢圓可得,由,到的距離為,得代入求解即可證得.
試題解析:
(1)將點代入可得
拋物線的焦點為,
橢圓中又點在橢圓上,,
解得 橢圓:
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,關(guān)于軸對稱,
為的重心,為橢圓長軸頂點,
,到的距離為.
.
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線:,聯(lián)立方程
,消得有兩不等實根
.
設(shè),,
.
又為的重心, ,
又點在橢圓上, ,得
.
到的距離為
.
的面積為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:千元)對年銷售量(單位:)和年利潤(單位:千元)的影響,對近13年的宣傳費和年銷售量 數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
由散點圖知,按建立關(guān)于的回歸方程是合理的.令,則,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根據(jù)以上信息,建立關(guān)于的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤與的關(guān)系為.根據(jù)(1)的結(jié)果,求當(dāng)年宣傳費時,年利潤的預(yù)報值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)當(dāng)求函數(shù)在上的最大值和最小值;
(3)若對于任意的實數(shù)恒有求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計顯示,男士喜歡閱讀古典文學(xué)的有64人,不喜歡的有56人;女士喜歡閱讀古典文學(xué)的有36人,不喜歡的有44人.
(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)系?
(2)為引導(dǎo)市民積極參與閱讀,有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書交流會,從這200人中篩選出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會,記為參加交流會的5人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的方程是,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線與曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線交于點,與直線交于點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點處的切線垂直于軸,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
(3)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使成立,求整數(shù)的最小值.
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