Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=5，a₆=11，數(shù)列{b_n}前n項和為S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$．
（1）求a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$及a_n=a₃+（n-3）d計算即得等差數(shù)列{a_n}的通項公式；當(dāng)n≥2時利用b_n=S_n-S_n-1化簡整理可知b_n=3b_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{b_n}是首項、公比均為3的等差數(shù)列，計算即得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）通過（1）可知c_n=（2n-1）3ⁿ，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=$\frac{11-5}{3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-1；
∵S_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{3}{2}$b_n-1-$\frac{3}{2}$）
=$\frac{3}{2}$（b_n-b_n-1），
整理得：b_n=3b_n-1，
又∵b₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，即b₁=3，
∴數(shù)列{b_n}是首項、公比均為3的等差數(shù)列，
于是b_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2n-1、b_n=3ⁿ，
則c_n=a_nb_n=（2n-1）3ⁿ，
∵T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2T_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+$\frac{18（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．