Question

14．已知集合P={x|2x²-5x+2≤0}，函數(shù)y=log₂（ax²+2）的定義域為S
（1）若P∩S≠∅，求實數(shù)a的取值范圍
（2）若方程log₂（ax²+2）=2在$[{\frac{1}{2}，2}]$上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）是一個存在性的問題，此類題求參數(shù)一般轉(zhuǎn)化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）也是一個存在性的問題，其與（1）不一樣的地方是其為一個等式，故應(yīng)求出解析式對應(yīng)函數(shù)的值域，讓該參數(shù)是該值域的一個元素即可保證存在性．

解答 解：（1）集合P={x|2x²-5x+2≤0}={x|$\frac{1}{2}≤x≤2$}，由已知Q={x|ax²+2＞0}，若P∩Q≠∅，
則說明在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)至少有一個x值，使不等式ax²+2＞0，即，
在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)至少有一個x值，使a＞-$\frac{2}{{x}^{2}}$成立，-$\frac{1}{{x}^{2}}$的最小值為：-8，
∴a的取值范圍是a＞-8；
（2）∵方程log₂（ax²+2）=2在$[{\frac{1}{2}，2}]$上內(nèi)有解，
∴ax²+2=4即ax²-2=0在$[{\frac{1}{2}，2}]$內(nèi)有解，分離a與x，得a=$\frac{2}{{x}^{2}}$∈$[\frac{1}{2}，8]$．
即a的取值范圍是：$[\frac{1}{2}，8]$．

點評 考查存在性問題求參數(shù)范圍，本題中兩個小題都是存在性，因為其轉(zhuǎn)化的最終形式不一樣，所以求其參數(shù)方式不一樣，一是其最值，一是求值域．答題者應(yīng)細(xì)心體會其不同．此類題一般難度較大，要求有較強的邏輯推理能力進行正確的轉(zhuǎn)化．