Question

9．某風(fēng)景區(qū)水面游覽中心計(jì)劃國(guó)慶節(jié)當(dāng)日投入之多3艘游船供游客觀光，過(guò)去10年的數(shù)據(jù)資料顯示每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X（單位：萬(wàn)人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
頻數(shù)	2	4	4

以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的隔斷客流量的頻率作為每年客流量在隔斷發(fā)生的概率，且每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立．
（1）求未來(lái)連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率；
（2）該水面游覽中心希望投入的游船盡可能使用，但每年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日游船最多使用量：（單位：艘）受當(dāng)日客流量X（單位：萬(wàn)人）的限制，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表：

國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3

若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日使用，則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，若某艘游船國(guó)慶節(jié)當(dāng)日不使用，則水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日虧損0.5萬(wàn)元，記Y（單位：萬(wàn)元）表示該水面游覽中心國(guó)慶節(jié)當(dāng)日獲得總利潤(rùn)，當(dāng)Y的數(shù)學(xué)期望最大時(shí)稱水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳，問(wèn)該水面游覽中心的國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘游船才能使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳？

Answer 1

分析 （1）國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$；
（2）分別求得投入1艘游船時(shí)，投入2艘游船時(shí)，X的取值范圍，求得其數(shù)學(xué)期望，投入3艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3-1=2，若3≤X≤5，則Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，若X＞5，則Y=3×3=9，求得其分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望E（Y），由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，所以該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘游船可使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳．

解答 解：（1）因?yàn)閲?guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
∴未來(lái)連續(xù)3年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日中，恰好有1年國(guó)慶節(jié)當(dāng)日客流量超過(guò)5萬(wàn)人的概率為P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$，…（3分）
（2）當(dāng)投入1艘游船時(shí)，因客流量總大于1，
所以E（Y）=3，
當(dāng)投入2艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3-0.5=$\frac{5}{2}$，
此時(shí)P（Y=$\frac{5}{2}$）=P（1＜X＜3）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
若X≥3，則Y=3×2=6，此時(shí)P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=$\frac{4}{5}$，
故E（Y）=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{5}$+6×$\frac{4}{5}$=$\frac{53}{10}$…（7分）
當(dāng)投入3艘游船時(shí)，若1＜X＜3，則Y=3-1=2，
若3≤X≤5，則Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，
若X＞5，則Y=3×3=9，
此時(shí)Y的分布列如下表：

Y	2	$\frac{11}{2}$	9
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

此時(shí)E（Y）=2×$\frac{1}{5}$+$\frac{11}{2}$×$\frac{2}{5}$+9×$\frac{2}{5}$=$\frac{31}{5}$，
由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，
所以該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入3艘游船可使該水面游覽中心在國(guó)慶節(jié)當(dāng)日效益最佳．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)分別和隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．