Question

9．某風景區(qū)水面游覽中心計劃國慶節(jié)當日投入之多3艘游船供游客觀光，過去10年的數(shù)據(jù)資料顯示每年國慶節(jié)當日客流量X（單位：萬人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：

國慶節(jié)當日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
頻數(shù)	2	4	4

以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的隔斷客流量的頻率作為每年客流量在隔斷發(fā)生的概率，且每年國慶節(jié)當日客流量相互獨立．
（1）求未來連續(xù)3年國慶節(jié)當日中，恰好有1年國慶節(jié)當日客流量超過5萬人的概率；
（2）該水面游覽中心希望投入的游船盡可能使用，但每年國慶節(jié)當日游船最多使用量：（單位：艘）受當日客流量X（單位：萬人）的限制，其關聯(lián)關系如下表：

國慶節(jié)當日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3

若某艘游船國慶節(jié)當日使用，則水面游覽中心國慶節(jié)當日可獲得利潤3萬元，若某艘游船國慶節(jié)當日不使用，則水面游覽中心國慶節(jié)當日虧損0.5萬元，記Y（單位：萬元）表示該水面游覽中心國慶節(jié)當日獲得總利潤，當Y的數(shù)學期望最大時稱水面游覽中心在國慶節(jié)當日效益最佳，問該水面游覽中心的國慶節(jié)當日應投入多少艘游船才能使該水面游覽中心在國慶節(jié)當日效益最佳？

Answer 1

分析 （1）國慶節(jié)當日客流量超過5萬人的概率為P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，連續(xù)3年國慶節(jié)當日中，恰好有1年國慶節(jié)當日客流量超過5萬人的概率為P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$；
（2）分別求得投入1艘游船時，投入2艘游船時，X的取值范圍，求得其數(shù)學期望，投入3艘游船時，若1＜X＜3，則Y=3-1=2，若3≤X≤5，則Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，若X＞5，則Y=3×3=9，求得其分布列，即可求得數(shù)學期望E（Y），由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，所以該水面游覽中心在國慶節(jié)當日應投入3艘游船可使該水面游覽中心在國慶節(jié)當日效益最佳．

解答 解：（1）因為國慶節(jié)當日客流量超過5萬人的概率為P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
∴未來連續(xù)3年國慶節(jié)當日中，恰好有1年國慶節(jié)當日客流量超過5萬人的概率為P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$，…（3分）
（2）當投入1艘游船時，因客流量總大于1，
所以E（Y）=3，
當投入2艘游船時，若1＜X＜3，則Y=3-0.5=$\frac{5}{2}$，
此時P（Y=$\frac{5}{2}$）=P（1＜X＜3）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
若X≥3，則Y=3×2=6，此時P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=$\frac{4}{5}$，
故E（Y）=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{5}$+6×$\frac{4}{5}$=$\frac{53}{10}$…（7分）
當投入3艘游船時，若1＜X＜3，則Y=3-1=2，
若3≤X≤5，則Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，
若X＞5，則Y=3×3=9，
此時Y的分布列如下表：

Y	2	$\frac{11}{2}$	9
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

此時E（Y）=2×$\frac{1}{5}$+$\frac{11}{2}$×$\frac{2}{5}$+9×$\frac{2}{5}$=$\frac{31}{5}$，
由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，
所以該水面游覽中心在國慶節(jié)當日應投入3艘游船可使該水面游覽中心在國慶節(jié)當日效益最佳．

點評 本題考查二項分別和隨機變量的分布列及數(shù)學期望的應用，考查計算能力，屬于中檔題．