Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，其上頂點到直線3x+4y-1=0的距離等于$\frac{3}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，交x軸的負半軸于點E，交y軸于點F（點E，F(xiàn)都不在橢圓上），且$\overrightarrow{FA}$=λ₁$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{FB}$=λ₂$\overrightarrow{BE}$，λ₁+λ₂=-8，證明：直線l恒過定點，并求出該定點．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的上頂點為（0，b），運用點到直線的距離公式，求得b=1，由題意可得a=2，進而得到橢圓方程；
（2）設A（x₁，y₁），E（m，0）（m＜0，m≠-2），F(xiàn)（0，n），運用向量共線的坐標表示，求得A，B的坐標，代入橢圓方程，化簡整理，由二次方程的韋達定理．解得m，即可得到直線l恒過定點．

解答 解：（1）設橢圓的上頂點為（0，b），
由點到直線的距離公式可得，$\frac{|0+4b-1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得b=1，
由2a=4，即a=2，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）證明：設A（x₁，y₁），E（m，0）（m＜0，m≠-2），F(xiàn)（0，n），
由 $\overrightarrow{FA}={λ_1}\overrightarrow{AE}$，得（x₁，y₁-n）=λ₁（m-x₁，-y₁），
即x₁=λ₁（m-x₁），y₁-n=-λ₁y₁，
可得$A（{\frac{{{λ_1}m}}{{1+{λ_1}}}，\frac{n}{{1+{λ_1}}}}）$，
同理由$\overrightarrow{FB}={λ_2}\overrightarrow{BE}$，得$B（{\frac{{{λ_2}m}}{{1+{λ_2}}}，\frac{n}{{1+{λ_2}}}}）$，
把$A（{\frac{{{λ_1}m}}{{1+{λ_1}}}，\frac{n}{{1+{λ_1}}}}）$，$B（{\frac{{{λ_2}m}}{{1+{λ_2}}}，\frac{n}{{1+{λ_2}}}}）$分別代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得，
$\left\{\begin{array}{l}（{4-{m^2}}）λ_1^2+8{λ_1}+4-4{n^2}=0\\（{4-{m^2}}）λ_2^2+8{λ_2}+4-4{n^2}=0\end{array}\right.$，
即有λ₁，λ₂是關于x的方程（4-m²）x²+8x+4-4n²=0的兩根，
可得λ₁+λ₂=-$\frac{8}{4-{m}^{2}}$=-8．解得m=-$\sqrt{3}$，
則直線l恒過定點（-$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點到直線的距離公式，考查直線恒過定點的求法，注意運用向量共線的坐標表示，以及點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．