Question

12．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線G：$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線G的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可求拋物線線y²=2px的準(zhǔn)線，從而可求p，進(jìn)而可求M，由雙曲線方程可求A，根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則由斜率相等可求a．

解答 解：∵M(jìn)（1，m）到拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線x=$-\frac{p}{2}$的距離等于M到其焦點(diǎn)的距離5，
∴$-\frac{p}{2}$=-4，∴p=8，
∴拋物線方程為y²=16x，
A（-a，0），不妨設(shè)m＞0，則M（1，4），
∵AM∥直線$y=\frac{1}{a}x$，∴${k_{AM}}=\frac{4}{1+a}=\frac{1}{a}$，解得$a=\frac{1}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用拋物線的定義求出拋物線的準(zhǔn)線方程．