Question

2．已知拋物線x²=2py（p＞0）的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，過點(diǎn)P（0，p）作直線與拋物線交于A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，其中x₁＞x₂．
（1）若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，過A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，使得對(duì)任意λ，都有$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$），若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出p的值，再求出直線方程，求出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，利用待定系數(shù)法解得即可，
（2）依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x²=4y，根據(jù)未達(dá)定理得到x₁x₂=-8，若k=0，這時(shí)λ=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，m），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的垂直的條件得到即$\frac{1}{4{x}_{2}}$（x₁+x₂）（x₁x₂-4m）=0，代入計(jì)算即可求出m的值．

解答 解：（1）由已知得p=2，直線和y軸交于點(diǎn)（0，2），
則直線AB的方程為y-2=$\frac{1}{2}$x，即x-2y+4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得A，B的坐標(biāo)分別為（4，4），（-2，1），
又由x²=4y，得到y(tǒng)=$\frac{1}{4}$x²，
∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為2，
設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-4}{a-4}=-\frac{1}{2}}\\{（a+2）^{2}+（b-1）^{2}=（a-4）^{2}+（b-4）^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=$\frac{13}{2}$，r²=$\frac{125}{4}$，
∴圓的方程為（x+1）²+（y-$\frac{13}{2}$）²=$\frac{125}{4}$，
即為x²+y²+2x-13x+12=0，
（2）依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-8=0，
∴x₁x₂=-8，①，
由已知$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$得-x₁=λx₂，
若k=0，這時(shí)λ=1，要使$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$），Q點(diǎn)必在y軸上，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，m），從而$\overrightarrow{QP}$=（0，2-m），
$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-m）-λ（x₂，y₂-m）=（x₁-λx₂，y₁-m-λ（y₂-m））
∴$\overrightarrow{QP}$•（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）=（2-m）[y₁-λy₂-m（1-λ）]=0，
∴y₁-λy₂-m（1-λ）=0，
即$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$-m（1+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=0，
即$\frac{1}{4{x}_{2}}$（x₁+x₂）（x₁x₂-4m）=0，將①代入得m=-2，
∴存在點(diǎn)Q（0，-2）使得$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）．

點(diǎn)評(píng) 通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．