Question

6．已知函數(shù)f（x）=me^x-x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，），若f（x）=0有兩根x₁，x₂且x₁＜x₂，則函數(shù)y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域為（-∞，0）．

Answer 1

分析 由零點的概念，化簡函數(shù)y，令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），求出導數(shù)，求得單調(diào)性，即可得到所求值域；

解答 解：由題意f函數(shù)f（x）=me^x-x-1，（x）=0有兩根x₁，x₂且x₁＜x₂，$m{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}-1=0$，$m{e}^{{x}_{2}}-{x}_{2}-1=0$．  
相減可得m（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）=x₂-x₁，
即有y=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-（x₂-x₁）
=$\frac{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}-1}{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}+1}$-（x₂-x₁），
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），
又g′（t）=$\frac{-{e}^{2t}-1}{（{e}^{t}+1）^{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴g（t）∈（-∞，0），
∴y=（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域為（-∞，0）；
故答案為：（-∞，0）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉化思想，以及單調(diào)性的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．