Question

17．設函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4（a、b∈R）
（1）若a∈{0，1，2}，b∈{-2，-1，0，1，2}，求函數(shù)f（x）有零點的概率．
（2）若a∈[-3，3]，b∈[0，3]，求函數(shù)g（x）=f（x）+5無零點的概率．

Answer 1

分析 （1）為古典概型，可得總的基本事件數(shù)為36，符合條件的由15個，可求概率；
（2）為幾何概型，作圖可得面積，作比值可得答案

解答 解：（1）a∈{0，1，2}，b∈{-2，-1，0，1，2}，共有事件數(shù)為3×5=15；
設事件A為“函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4有零點”，
即方程x²+2ax-b²+4=0有實根的條件為
△=4a²+4b²-16≥0，即a²+b²≥4，共有（0，-2），（0，2），（1，-2），（1，2），（2，-2），（2，2），（2，-1），（2，0），（2，1）共有9個事件，由古典概型的公式得到函數(shù)f（x）有零點的概率$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．
（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|-3≤a≤3，0≤b≤3} 
構成事件B=“函數(shù)g（x）=f（x）+5=x²+2ax-b²+9無零點”即△＜0的區(qū)域為
{（a，b）|a²+b²＜9  }即如圖的陰影區(qū)域所示，由幾何概型的公式得到所求概率為：$\frac{\frac{1}{2}π×{9}^{\;}}{6×3}=\frac{π}{4}$．

點評 本題考查古典概型和幾何概型的求解，關鍵是明確概率模型性質，正確利用公式求值．