Question

2．某市交管部門隨機抽取了89位司機調(diào)查有無酒駕習慣，匯總數(shù)據(jù)的如表：

	男性	女性	合計
無酒駕習慣	31
有酒駕習慣		8
合計			89

已知在這89人隨機抽取1人，抽到無酒駕習慣的概率為$\frac{57}{89}$，
（1）將如表中空白部分數(shù)據(jù)補充完整；
（2）若從有酒駕習慣的人中按性別用分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動，現(xiàn)從這8人中隨機抽取2人，記抽到女性的人數(shù)為X，求X得分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得89位司機中有57人無酒駕習慣，從而求出女性司機中有26人無酒駕習慣，進而求出女性司機共有34人，男性司機有55人，其中有酒駕習慣的人數(shù)為24人．由此能將表中空白部分數(shù)據(jù)補充完整．
（2）因為從有酒駕的人中按性別用分層抽樣的方法抽取8人，所以男性抽出6人，女性抽出2人，X可取的值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵在這89人隨機抽取1人，抽到無酒駕習慣的概率為$\frac{57}{89}$，
∴89位司機中有57人無酒駕習慣，
∴女性司機中有：57-31=26人無酒駕習慣，
∴女性司機共有：26+8=34人，
∴男性司機有：89-34=55人，其中有酒駕習慣的人數(shù)為：55-31=24人．
表中空白部分數(shù)據(jù)補充完整，得：

	男性	女性	合計
無酒駕習慣	31	26	57
有酒駕習慣	24	8	32
合計	55	34	89

…（4分）
（2）因為從有酒駕的人中按性別用分層抽樣的方法抽取8人，
所以男性抽出8×$\frac{24}{24+8}$=6人，女性抽出8-6=2人，
所以X可取的值為0，1，2；                            …（5分）
X服從超幾何分布，
P（x=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，
P（x=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{7}$，
P（x=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，…（8分）
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

…（10分）
E（X）=2×$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．