Question

14．過點E（1，0）作兩條互相垂直的直線交拋物線y²=4x于點A、B、C、D，且M、N分別是AB、CD的中點，則三角形EMN面積的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 不妨設(shè)AB的斜率k₁=k＞0，求出CD的斜率k₂=-$\frac{1}{k}$＜0，利用點斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得中點M、N的坐標，利用點斜式方程求出直線MN的方程，再求出直線MN與x軸的交點坐標，可得△EMN的面積，利用基本不等式求△EMN面積的最小值．

解答 解：由題意不妨設(shè)AB的斜率k₁=k＞0，則CD的斜率k₂=-$\frac{1}{k}$＜0，
所以AB的直線方程是：y=k（x-1），CD的直線方程是y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$，
因為M是AB的中點，所以點M（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
同理可得，點N（1+2k²，-2k），
所以直線MN的方程是：y+2k=$\frac{\frac{1}{k}+k}{\frac{1}{{k}^{2}}-{k}^{2}}$（x-1-2k²），令y=0，得x=3，
則直線MN與x軸的交點是（3，0），
所以△EMN面積S=$\frac{1}{2}$（3-1）（$\frac{2}{k}$+2k）=$\frac{2}{k}$+2k≥2$\sqrt{\frac{2}{k}×2k}$=4，
當且僅當$\frac{2}{k}$=2k時取等號，此時k=1，
所以△EMN面積的最小值是4．
故選：D．

點評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．