Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF₁|=a，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 F₁F₂=2c，由題意以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF₁|=a，求出|PF₂|=3a進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得a，c之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．

解答 解：設(shè)F₁F₂=2c，由題意以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF₁|=a，則|PF₂|=3a，
∴|F₁P|²+|F₂P|²=|F₁F₂|²，
又根據(jù)曲線的定義得：
10a²=4c²，
e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴雙曲線的離心率$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．