Question

已知函數(shù)f（x）=（n-x-xlnx）ln（x+m）（m，n為常數(shù)，且m＞0，n＞0），且y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-2xln2+2ln2．
（1）求m，n的值；
（2）證明：對(duì)任意x＞0，曲線g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的圖象在第一象限．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求m，n的值；
（2）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，證明g（x）=（1+e^-2）x-f（x）＞0即可．

解答： 解：（1）∵y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-2xln2+2ln2，
∴f（1）=-2ln2+2ln2=0，且f′（1）=-2ln2，
即f（1）=（n-1）ln（1+m），
∵m＞0，n＞0，
∴l(xiāng)n（1+m）＞0，則n-1=0，n=1，
則f（x）=（1-x-xlnx）ln（x+m），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（-2-lnx）ln（x+m）+

1-x-xlnx

x+m

，
則f′（1）=-2ln（1+m）=-2ln2，
則1+m=2，解得m=1．
（2）∵m=1，n=1，
∴f（x）=（1-x-xlnx）ln（x+1），
則 g（x）=（1+e^-2）x-f（x）=（1+e^-2）x-（1-x-xlnx）ln（x+1），
若 曲線g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的圖象在第一象限，
等價(jià)為 g（x）=（1+e^-2）x-f（x）=（1+e^-2）x-（1-x-xlnx）ln（x+1）＞0，
即（1+e^-2）x＞（1-x-xlnx）ln（x+1）成立，
令h（x）=1-x-xlnx，則h′（x）=-2-lnx，
由h′（x）=0，解得x=e^-2，
當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減，
故h（x）在x=e^-2，處取得極大值同時(shí)也是最大值．
則h（x）=）=1-x-xlnx≤h（e^-2）=1+e^-2，
再令m（x）=x-ln（x+1），則m′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，
則x∈（0，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，故函數(shù)遞增，而m（0）=0，
故當(dāng)x＞0，m（x）＞m（0）=0，即x-ln（x+1）＞0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，x＞ln（x+1）＞0，
綜上可知，（1+e^-2）x＞（1-x-xlnx）ln（x+1）成立，
故g（x）=（1+e^-2）x-f（x）的圖象在第一象限．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度也比較大．