建造一個容積為6400立方米,深為4米的長方體無蓋蓄水池,池壁的造價為每平方米200元,池底的造價為每平方米100元.
(1)把總造價y元表示為池底的一邊長x米的函數(shù);
(2)蓄水池的底邊長為多少時總造價最低?總造價最低是多少?
分析:(1)水池總造價函數(shù)為y=池底造價+池壁造價,代入整理即可;
(2)由(1)得出總造價函數(shù)y=1600(x+
1600
x
)+160000
,應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義研究其單調(diào)性,從而得出這個函數(shù)在(0,40]上是減函數(shù),在[40,+∞)增函數(shù),可求得函數(shù)的最小值以及對應(yīng)的x的值.
解答:解:(1)由已知池底的面積為1600平方米,底面的另一邊長為
1600
x
米,--------(1分)
則池壁的面積為8(x+
1600
x
)
平方米.------------------------------------(3分)
所以總造價:y=1600(x+
1600
x
)+160000
(元),x∈(0,+∞).-------------(5分)
(2)設(shè)0<x1<x2,則
y1-y2=1600(x1+
1600
x1
)-1600(x2+
1600
x2
)=1600[(x1-x2)+
1600(x2-x1)
x1x2
]
=1600(x1-x2)(1-
1600
x1x2
).
--(7分)
當(dāng)0<x1<x2≤40時,x1-x2<0,1-
1600
x1x2
<0
,得y1-y2>0,即 y1>y2.----------(9分)
當(dāng)40<x1<x2時,x1-x2<0,1-
1600
x1x2
>0
,得y1-y2<0,即 y1<y2.---(11分)
從而這個函數(shù)在(0,40]上是減函數(shù),在[40,+∞)增函數(shù),當(dāng)x=40時,ymin=288000.
所以當(dāng)池底是邊長為40米的正方形時,總造價最低為288000元.---------------(14分)
點評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查函數(shù)解析式的求解及常用方法,考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,屬于基礎(chǔ)題.
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(本題滿分14分)建造一個容積為6400立方米,深為4米的長方體無蓋蓄水池,池壁的造價為每平方米200元,池底的造價為每平方米100元.

(1) 把總造價元表示為池底的一邊長米的函數(shù);

(2) 蓄水池的底邊長為多少時總造價最低?總造價最低是多少?

 

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