Question

3．在△ABC中，${sin^2}A+{sin^2}B-{sin^2}（A+B）=\sqrt{2}sinAsinB$．
（1）求角C的大�。�
（2）若$f（x）=4sin（x-\frac{C}{2}）sin（x+\frac{A+B}{2}）$且A、B、C成等差數列，求f（A）的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和三角形內角和定理化簡，利用余弦定理求解角C的大�。�
（2）根據A，B，C成等差數列，可得B=60°．那么A=π-C-B．帶入f（A）可得答案．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC，
由正弦定理：${sin^2}A+{sin^2}B-{sin^2}（A+B）=\sqrt{2}sinAsinB$．
可化簡為：${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}=\sqrt{2}ab$
根據cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{π}{4}$．
（2）A，B，C成等差數列，即3B=π，
可得B=$\frac{π}{3}$
A+B=$\frac{3π}{4}$
那么A=$π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$
由$f（x）=4sin（x-\frac{C}{2}）sin（x+\frac{A+B}{2}）$，
則f（x）=4sin（x-$\frac{π}{8}$）sin（x+$\frac{3π}{8}$）=4sin（x-$\frac{π}{8}$）cos（x-$\frac{π}{8}$）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）
那么f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正余弦定理和三角形內角和定理化簡計算能力和運用能力．屬于中檔題．