Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB=2BC，AC=AA₁=$\sqrt{3}$BC，則直線AB₁與平面BB₁C₁C所成的角的正切值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{39}}{3}$

Answer 1

分析 證明AC⊥平面BB₁C₁C，連接CB₁，則∠CB₁A為直線AB₁與平面平面BCC₁B₁所成的角，由此能求出直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 解：由題意，設BC=1，則AB=2，AC=AA₁=$\sqrt{3}$，
∴AC⊥BC，
∵AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，
連接CB₁，則∠CB₁A為直線AB₁與平面平面BCC₁B₁所成的角，
∵CB₁=$\sqrt{1+3}$=2，
∴tan∠CB₁A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選B．

點評 本題考查了學生的空間想象力及線面角的作法，屬于中檔題．