Question

8．已知定點A（0，1），直線l₁：y=-1交y軸于點B，記過點A且與直線l₁相切的圓的圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡E的方程；
（2）設傾斜角為α的直線l₂過點A，交軌跡E于兩點P、Q，交直線l₁于點R．若$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，求|PR|•|QR|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得，點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，由此能求出軌跡E的方程．
（2）設直線l₂的方程為y=kx+1，與拋物線C方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求R點坐標，由弦長公式及韋達定理把|PR|•|QR|表示出來，可得關于k的函數(shù)，由$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，得k的范圍，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得|PR|•|QR|的最小值．

解答 解：（1）由已知可得，點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，
∴軌跡E的方程為x²=4y．…（4分）
（2）設直線l₂的方程為y=kx+1，代入拋物線方程x²=4y消去y，得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因為直線l₂的斜率k≠O，易得點R的坐標為（-$\frac{2}{k}$，-1）．
|AR|•|BR|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x_R|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x_R|
=（1+k²）•（x₁+$\frac{2}{k}$）（x₂+$\frac{2}{k}$）=（1+k²） x₁ x₂+（$\frac{2}{k}$+2 k）（ x₁+x₂）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4
=-4（1+k²）+4k（$\frac{2}{k}$+2k）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4=4（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）+8，
又$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，∴k∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，k²∈[$\frac{1}{3}$，1]，
令t=k²，∵f（t）=4（t+$\frac{1}{t}$）+8在[$\frac{1}{3}$，1]上遞減，
所以|PR|•|QR|的最小值為16．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查函數(shù)思想，是中檔題．