Question

8．已知定點(diǎn)A（0，1），直線l₁：y=-1交y軸于點(diǎn)B，記過點(diǎn)A且與直線l₁相切的圓的圓心為點(diǎn)C．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（2）設(shè)傾斜角為α的直線l₂過點(diǎn)A，交軌跡E于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R．若$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，求|PR|•|QR|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得，點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出軌跡E的方程．
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=kx+1，與拋物線C方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求R點(diǎn)坐標(biāo)，由弦長公式及韋達(dá)定理把|PR|•|QR|表示出來，可得關(guān)于k的函數(shù)，由$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，得k的范圍，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得|PR|•|QR|的最小值．

解答 解：（1）由已知可得，點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
∴軌跡E的方程為x²=4y．…（4分）
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=kx+1，代入拋物線方程x²=4y消去y，得x²-4kx-4=0．
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因?yàn)橹本�l₂的斜率k≠O，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{k}$，-1）．
|AR|•|BR|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x_R|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x_R|
=（1+k²）•（x₁+$\frac{2}{k}$）（x₂+$\frac{2}{k}$）=（1+k²） x₁ x₂+（$\frac{2}{k}$+2 k）（ x₁+x₂）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4
=-4（1+k²）+4k（$\frac{2}{k}$+2k）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4=4（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）+8，
又$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，∴k∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，k²∈[$\frac{1}{3}$，1]，
令t=k²，∵f（t）=4（t+$\frac{1}{t}$）+8在[$\frac{1}{3}$，1]上遞減，
所以|PR|•|QR|的最小值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)思想，是中檔題．