Question

18．給出兩個命題，命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，命題q：函數(shù)$y=（a+\frac{1}{2}）x-1$為增函數(shù)．若p∨q為真，求實數(shù)a取值的范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出命題p，q成立的等價條件，根據(jù)復合命題真假之間的關系先求出p∨q為假命題的等價條件即可得到結論．

解答 解：若關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，則判別式△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，即p：a＞$\frac{1}{3}$或a＜-1，￢p：-1≤a≤$\frac{1}{3}$，
若函數(shù)$y=（a+\frac{1}{2}）x-1$為增函數(shù)，則a+$\frac{1}{2}$＞0，即a＞-$\frac{1}{2}$，即q：a＞-$\frac{1}{2}$，￢q：a≤-$\frac{1}{2}$，
若p∨q為假命題．則$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤-$\frac{1}{2}$，
則若p∨q為真，則a＞-$\frac{1}{2}$或a＜-1，
即實數(shù)a的取值范圍是a＞-$\frac{1}{2}$或a＜-1．

點評 本題主要考查復合命題真假關系的應用，根據(jù)條件求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．