Question

15．已知在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），且∠B為鈍角．
（1）求角A的大��；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，求b-$\sqrt{3}$c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可求出角A的大小．
（2）由a=$\frac{1}{2}$，正弦定理把b，c用角表示出來，利用三角函數(shù)的有界限即可求b-$\sqrt{3}$c的取值范圍．

解答 解：（1）由b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），即$^{2}-\sqrt{3}bc={a}^{2}-{c}^{2}$
根據(jù)余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得：b=sinB，c=sinC．
那么：b-$\sqrt{3}$c=sinB-$\sqrt{3}$sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-C）-$\sqrt{3}$sinC=$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=cos（$\frac{π}{3}+C$）
∵∠B為鈍角．
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴$0＜C＜\frac{π}{3}$
那么：$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$．
則cos（$\frac{π}{3}+C$）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
即b-$\sqrt{3}$c的取值范圍是（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了正余弦定理的靈活運用和三角函數(shù)有界限求解取值范圍問題．屬于中檔題．