Question

10．已知函數f（x）=|x+a|-|x-1|．
（Ⅰ）當a=-2時，求不等式$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=-2時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\\-2x+3，1＜x≤2\\-1，\;\;\;\;\;\;\;\;x＞2\end{array}\right.$，
當x≤1時，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$1≥\frac{1}{2}$，成立，∴x≤1；
當1＜x＜2時，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$-2x+3≥\frac{1}{2}$，
解得$x≤\frac{5}{4}$，∴$1＜x≤\frac{5}{4}$．
當x＞2時，由$f（x）≥\frac{1}{2}$得$-1≥\frac{1}{2}$，不成立．
綜上，$f（x）≥\frac{1}{2}$的解集為$\left\{{x|x≤\frac{5}{4}}\right\}$．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|-|x-1|≥2有解，
∴f（x）_max≥2．
∵|x+a|-|x-1|≤|（x+a）-（x-1）|=|a+1|，
∴|a+1|≥2，∴a≥1或a≤-3．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，是一道中檔題．