Question

10．若函數(shù)f（x）=cos2x+2asinx+3在區(qū)間（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦化余弦為正弦，然后令sinx=t換元，得到y(tǒng)=-2t²+2at+4在區(qū)間（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$）上是減函數(shù)，再結合對稱軸的范圍得答案．

解答 解：f（x）=cos2x+2asinx+3=-2sin²x+2asinx+4，
令sinx=t，則y=-2t²+2at+4，
∵x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），∴t∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$），
即y=-2t²+2at+4在區(qū)間（$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$）上是減函數(shù)，
又對稱軸為t=$\frac{a}{2}$，∴$\frac{a}{2}≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a∈（-∞，$\sqrt{3}$]．
故答案為：（-∞，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查與三角函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．