Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（b、a、d為常數(shù)）的極大值為f（x₁）、極小值為f（x₂），且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則${（{b+\frac{1}{2}}）^2}+{（{c-3}）^2}$的取值范圍是（　　）

• A． $（{\sqrt{5}，\frac{{\sqrt{61}}}{2}}）$
• B． $（{\sqrt{5}，5}）$
• C． $（{5，\frac{61}{4}}）$
• D． （5，25）

Answer 1

分析 求導f′（x）=3x²+2bx+c，從而可得x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的兩個根，從而可得關于b，c的不等式組；從而作出其可行域，而（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的幾何意義是陰影內的點與點B（-$\frac{1}{2}$，3）的距離的平方，從而求（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25）．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
又∵f（x）在x=x₁時取得極大值且x₁∈（0，1），在x=x₂時取得極小值且x₂∈（1，2），
∴x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的兩個根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=c＞0}\\{f′（1）=3+2b+c＜0}\\{f′（2）=12+4b+c＞0}\end{array}\right.$；
作平面區(qū)域如下，

（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的幾何意義是陰影內的點與點B（-$\frac{1}{2}$，3）的距離，
點B到直線3+2b+c=0的距離的平方為 $\frac{{（3-1+3）}^{2}}{{2}^{2}{+1}^{2}}$=5，
由 $\left\{\begin{array}{l}{3+2b+c=0}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$解得，
E（-$\frac{9}{2}$，6）；
故|BE|²=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$）²+（6-3）²=25；
故（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范圍是（5，25）；
故選：D．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及簡單線性規(guī)劃的應用，屬于難題．