Question

16．已知函數$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，g（x）=xf（x）+（1-tx）e^-x，t∈R
（1）求函數f（x）的極大值；
（2）若存在a，b，c∈[0，1]滿足g（a）+g（b）＜g（c），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極大值；
（2）求出g（x）的導數，通過討論t的范圍，確定函數的單調區(qū)間，從而求出t的具體范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-x}{e^x}$，
當x≥0時，f′（x）≤0，
所以f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為減函數，
當x＜0時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數，
所以f（x）_極大值=f（0）=1…（5分）
（2）因為$g（x）=\frac{{{x^2}+（1-t）x+1}}{e^x}$，
所以$g'（x）=\frac{-（x-t）（x-1）}{e^x}$…（6分）
設g（x）在[0，1]上的最大值為M，最小值為N，則2N＜M，
①當t≥1時，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上單調遞減，
由2N＜M，所以2g（1）＜g（0），即$2•\frac{3-t}{e}＜1$，得$t＞3-\frac{e}{2}$…（8分）
②當t≤0時，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上單調遞增，
所以2g（0）＜g（1）即$2＜\frac{3-t}{e}$，得t＜3-2e…（10分）
③當0＜t＜1時，在x∈[0，t），g'（x）＜0，g（x）在[0，t]上單調遞減，
在x∈（t，1]，g'（x）＞0，g（x）在[t，1]上單調遞增，
所以2g（t）＜g（0），且2g（t）＜g（1）}，
即$2•\frac{t+1}{e^t}＜1$，且$2•\frac{t+1}{e^t}＜\frac{3-t}{e}$，
由（Ⅰ）知$f（t）=\frac{t+1}{e^t}$在t∈（0，1）上單調遞減，
故$2×\frac{t+1}{e^t}＞\frac{4}{e}＞1$，而$\frac{3-t}{e}＜\frac{3}{e}＜\frac{4}{e}$，所以無解，
綜上所述，$t∈（-∞，3-2e）∪（3-\frac{e}{2}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，分類討論思想，是一道綜合題．