Question

9．已知函數$f（x）=x+\frac{a}{x}-2$，a∈R．
（1）當a=4時，求函數f（x）的極值；
（2）若函數在x=1處的切線平行于x軸，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值；（2）求出函數的導數，得到f′（1）=0，解出即可．

解答 解：（1）a=4時，f（x）=x+$\frac{4}{x}$-2，
f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0或0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，0）遞減，
在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（-2）=-6，f（x）_極小值=f（2）=2；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函數在x=1處的切線平行于x軸，
則f′（1）=1-a=0，解得：a=1．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道基礎題．