Question

14．如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E為DD'的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證BD'∥平面AEC；
（Ⅱ）如圖，設(shè)F為上底面A'B'C'D'一點(diǎn)，過點(diǎn)F在上底面畫一條直線與CF垂直，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）連接BD交AC于O，連接EO，則由中位線定理得OE∥BD′，故BD'∥平面AEC；
（II）連結(jié)C′F，在上底面內(nèi)過F作直線FM⊥C′F，則直線FM即為所求的直線；通過證明FM⊥平面CC′F即可得出結(jié)論．

解答 （I）證明：連接BD交AC于O，連接EO，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是BD的中點(diǎn)，又E是DD′的中點(diǎn)，
∴OE∥BD′，
又OE?平面AEC，BD′?平面AEC，
∴BD'∥平面AEC．
（II）解：連結(jié)C′F，在上底面內(nèi)過F作直線FM⊥C′F，則直線FM即為所求的直線．
證明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，F(xiàn)M?平面A′B′C′D′，
∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，
∴FM⊥平面CC′F，又CF?平面CC′F，
∴FM⊥CF．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．