Question

15．設(shè)鐵路AB長為100，BC⊥AB，且BC=30，為將貨物從A運往C，現(xiàn)在AB上距點B為x的點M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運費為2，公路運費為4．
（1）將總運費y表示為x的函數(shù)；
（2）如何選點M才使總運費最小．

Answer 1

分析 （1）由題意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，則AM=100-x．MC=$\sqrt{M{B}^{2}+B{C}^{2}}$，可得總運費y表示為x的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的關(guān)系式，利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，可得最值．

解答 解：（1）由題意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，則AM=100-x．MC=$\sqrt{M{B}^{2}+B{C}^{2}}$，
∴總運費y=2×（100-x）+4×MC=200-2x+4$\sqrt{{x}^{2}+900}$，（100＞x＞0）．
（2）由（1）可得y=200-2x+4$\sqrt{{x}^{2}+900}$，（100＞x＞0）．
則y′=-2+4×$\frac{1}{2}$×$2x×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+900}}$
令y′=0．
可得：2$\sqrt{{x}^{2}+900}$=4x，
解得：x=10$\sqrt{3}$．
當(dāng)$0＜x＜10\sqrt{3}$時，y′＜0，則y在當(dāng)$0＜x＜10\sqrt{3}$單調(diào)遞減．
當(dāng)$10\sqrt{3}＜x＜100$時，y′＞0，則y在$10\sqrt{3}＜x＜100$單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=10$\sqrt{3}$時，y取得最大值為200+60$\sqrt{3}$．
∴選點M距離B點$10\sqrt{3}$時才使總運費最�。�

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法和最值的計算，利用了導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)的運用．屬于中檔題．