Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差數(shù)列（n∈N^*）．
（1）求a的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1），求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推公式、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）得b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1）=（2n+1）（2n-1），可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差數(shù)列（n∈N^*）．∴2S_n=2ⁿ⁺¹+a，
當n=1時，2a₁=4+a，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a₁=1，則4+a=2，解得a=-2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1．
（2）由（1）得b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1）=（2n+1）（2n-1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．