Question

19．在極坐標系下，點P是曲線ρ=2（0＜θ＜π）上的動點，A（2，0），線段AP的中點為Q，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求點Q的軌跡C的直角坐標方程；
（2）若軌跡C上的點M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，求點M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線ρ=2（0＜θ＜π），即ρ²=4，（0＜θ＜π），化為直角坐標方程：x²+y²=4（0＜y≤2）．設線段AP的中點Q（x，y），A（x′，y′），則$x=\frac{2+{x}^{′}}{2}$，y=$\frac{{y}^{′}}{2}$，解得x′=2x-2，y′=2y．代入方程（x′）²+（y′）²=4，即可得出．
（2）軌跡C的方程為：y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，設M（x₀，y₀）．y′=$\frac{1-x}{\sqrt{2x-{x}^{2}}}$，根據(jù)跡C上的點M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，可得$-\sqrt{3}$≤$\frac{1-{x}_{0}}{\sqrt{2{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}}$≤$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，解出即可得出．

解答 解：（1）曲線ρ=2（0＜θ＜π），即ρ²=4，（0＜θ＜π），化為直角坐標方程：x²+y²=4（0＜y≤2）．
設線段AP的中點Q（x，y），A（x′，y′），則$x=\frac{2+{x}^{′}}{2}$，y=$\frac{{y}^{′}}{2}$，解得x′=2x-2，y′=2y．
∵（x′）²+（y′）²=4，∴（2x-2）²+（2y）²=4，化為：（x-1）²+y²=1．
由y′∈（0，2]，可得0＜2y≤2，解得0＜y≤1．
∴點Q的軌跡C的直角坐標方程：（x-1）²+y²=1（0＜y≤1）．
（2）軌跡C的方程為：y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，設M（x₀，y₀）．
y′=$\frac{（2x-{x}^{2}）^{′}}{2\sqrt{2x-{x}^{2}}}$=$\frac{1-x}{\sqrt{2x-{x}^{2}}}$，
∵跡C上的點M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
∴$-\sqrt{3}$≤$\frac{1-{x}_{0}}{\sqrt{2{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}}$≤$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：$\frac{3}{2}$≤x₀≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
∴點M橫坐標的取值范圍是$[\frac{3}{2}，\frac{2+\sqrt{3}}{2}]$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、利用導數(shù)研究曲線切線的斜率、坐標變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．