Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點．若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點，且， 兩點的“橢點”分別為， ，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，試求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：(1) 由,用表示，將點代入橢圓方程可求出的值，從而求出的值，得到橢圓的方程；(2) 設(shè)，則，由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，得即，將直線方程代入橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入關(guān)系式得到與的關(guān)系式，再求出弦長與點到直線的距離，即可求得三角形的面積.

試題解析： （Ⅰ）由，得，………………（1分）

又，………………（2分）

橢圓，

因點在上， ，得，…………（3分）

，………………（4分）

所以橢圓的方程為： ；…………（5分）

（Ⅱ）設(shè)，則，

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，得，

即（1）………………（6分）

由，消除整理得： ，

由，得，

而（2）………………（7分）

（3）

將（2）（3）代入（1）得： ，

即，………………（8分）

又，………………（9分）

原點到直線的距離，………………（10分）

，………………（11分）

把代入上式得，即的面積是為.………………（12分）