Question

12．已知點P（1，b）是函數(shù)f（x）=x³+ax²圖象上的一點，在點P處切線的斜率為-3，g（x）=x³+$\frac{t-6}{2}$x²+（t-$\frac{1}{2}$）x-$\frac{1}{2}$（t＞0）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，4]時，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，4]時，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=3x²+2ax，由點P（1，b）是函數(shù)f（x）=x³+ax²圖象上的一點，在點P處切線的斜率為-3，列出方程組能求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞減，由此能求出當(dāng)x∈[-1，4]時，f（x）的最大值和最小值．
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{t}{2}{x}^{2}-（t-\frac{1}{2}）x+\frac{1}{2}$，x∈[1，4]，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需t（x²+2x）≥x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²，∴f′（x）=3x²+2ax，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（1）=3+2a=-3}\\{b=1+a}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，得x=0或x=2，
當(dāng)x∈[-1，0）∪（2，4]時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，在[0，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞減，
又f（-1）=-4，f（0）=0，
∴{f（x）}_min=f（2）=-4，{f（x）}_max=f（4）=16．
即當(dāng)x∈[-1，4]時，f（x）的最大值為16，最小值為-4．
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{t}{2}{x}^{2}-（t-\frac{1}{2}）x+\frac{1}{2}$，x∈[1，4]，
∴要使f（x）≤g（x）恒成立，只需h（x）≤0，即t（x²+2x）≥x+1，
當(dāng)x∈[1，4]時，t≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x}$，令F（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x}$，
∵${F^'}（x）=\frac{{-（{x^2}+2x+2）}}{{{{（{x^2}+2x）}^2}}}＜0$，∴F（x）在x∈[1，4]為減函數(shù)，
∴F（x）_max=F91）=$\frac{2}{3}$，∴t≥$\frac{2}{3}$，
∴t的取值范圍是$[{\frac{2}{3}，+∞}）$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值及最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．