Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0且??＞0，0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象得出函數(shù)f（x）的周期T，振幅A，計(jì)算ω的值，再求出φ的值即得f（x）；
（2）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）把問題化為y=f（x）與y=a的圖象在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)交點(diǎn)問題，利用函數(shù)的圖象即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由圖象易知函數(shù)f（x）的周期為
T=4×（$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=2π，
A=1，
所以ω=1；
由圖象知f（x）過點(diǎn)$（\frac{7π}{6}，1）$，
則$sin（\frac{7π}{6}+ϕ）=-1$，
∴$\frac{7π}{6}+ϕ=\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得$ϕ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$；
又∵$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴$f（x）=sin（x+\frac{π}{3}）$；…4分
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
得$-\frac{5π}{6}+2kπ≤x≤\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{6}$+2kπ]，k∈Z；…8分
（3）方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
等價(jià)于y=f（x）與y=a的圖象在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
在圖中作y=a的圖象，如圖所示；
由函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）在（0，$\frac{5π}{3}$）上的圖象知，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{5π}{3}$時(shí)，f（x）=0，
由圖中可以看出有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a∈（-1，0）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．…12分

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了方程與函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．