Question

4．己知△ABC內一點P滿足$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AC}$，過點P的直線分別交邊AB、AC于M、N兩點，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$，則λ+μ的最小值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)題意可知λ，μ＞0，從而可由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$可得$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{μ}\overrightarrow{AN}$，從而便可得出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{8μ}\overrightarrow{AN}$，這樣由M，P，N三點共線便可得出$\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}=1$，從而$λ+μ=（λ+μ）（\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}）$=$\frac{5}{8}+\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}$，而由基本不等式即可求出$\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}$的最小值，進而便可求出λ+μ的最小值．

解答 解：如圖，
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=μ\overrightarrow{AC}$及題意得，λ＞0，μ＞0，且$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{μ}\overrightarrow{AN}$，帶入$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{8}\overrightarrow{AC}$得：
$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2λ}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{8μ}\overrightarrow{AN}$；
又M，P，N三點共線；
∴$\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}=1$，且λ，μ＞0；
∴$λ+μ=（λ+μ）（\frac{1}{2λ}+\frac{1}{8μ}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{λ}{8μ}+\frac{μ}{2λ}+\frac{1}{8}$
$≥\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{λ}{8μ}•\frac{μ}{2λ}}$
=$\frac{5}{8}+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{8}$，當且僅當$\frac{λ}{8μ}=\frac{μ}{2λ}$，即λ=2μ=$\frac{3}{4}$時取“=”；
∴λ+μ的最小值為$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 考查向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)乘的幾何意義，A，B，C三點共線的充要條件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及基本不等式在求最值中的應用，在應用基本不等式時，注意判斷等號能否取到．