Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分別是矩形四條邊的中點，G，H分別是線段ON，CN的中點．

（1）證明：直線EG與FH的交點L在橢圓?：上；

（2）設直線l：與橢圓?：有兩個不同的交點P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求的最大值及取得最大值時m的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當或時，取得最大值.

【解析】

試題分析：解題思路：（1）由點寫出直線方程，聯立直線方程得到交點坐標，，驗證點滿足橢圓方程；（2）聯立直線與橢圓的方程，常用“設而不求”的方法，求弦長，進而求所求比值，常用換元法求最值.規(guī)律總結：直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般綜合性強.一般思路是聯立直線與圓錐曲線的方程，整理得關于的一元二次方程，常用“設而不求”的方法進行求解.

試題解析：（1）點，，，，

則直線EG：，直線FH：，

則直線EG與FH的交點，

因為，故直線EG與FH的交點L在橢圓?：上．

（2）聯立方程組消去y，得，

設，，則，，

由及得．

，

若直線l過A點時，，

①當時，，，當時，最大值．

②當時，設，，，

，令，則，

當，即，時，取最大值．

綜上所述，當或時，取得最大值．

考點：直線與橢圓的位置關系.