Question

6．如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD相交于點F．
（Ⅰ）證明：A、E、F、M四點共圓；
（Ⅱ）若MF=4BF=2，求線段BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AM，由AB為直徑可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能證明A、E、F、M四點共圓．
（Ⅱ）連結(jié)AC，由A、E、F、M四點共圓，得BF•BM=BE•BA，結(jié)合直角三角形的射影定理，可得BC²=BE•BA，由此能求出線段BC的長．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)AM，
由AB為直徑可知∠AMB=90°，
又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，
因此A、E、F、M四點共圓．
（Ⅱ）解：連結(jié)AC，
由A、E、F、M四點共圓，
所以BF•BM=BE•BA，
在Rt△ABC中，BC²=BE•BA，
又由MF=4BF=2，知BF=$\frac{1}{2}$，BM=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
所以BC²=BF•BM=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$，即BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查四點共圓的證明，注意運用對角互補，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．