Question

已知函數(shù)f（x）=3^x+k（k為常數(shù)），A（-2k，2）是函數(shù)y=f^-1（x）圖象上的點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值及函數(shù)f^-1（x）的解析式；
（2）將y=f^-1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若2 f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵A（-2k，2）是函數(shù)y=f^-1（x）圖象上的點(diǎn)，
∴B（2，-2k）是函數(shù)y=f（x）上的點(diǎn)．
∴-2k=3²+k．∴k=-3．
∴f（x）=3^x-3．
∴y=f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）．

（2）將y=f^-1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，
得到函數(shù)y=g（x）=log₃x（x＞0），
要使2f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，
即使2log₃（x+）-log₃x≥1恒成立，
所以有x++2≥3在x＞0時(shí)恒成立，只要（x++2）_min≥3．
又x+≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時(shí)等號(hào)成立），
∴（x++2）_min=4，即4≥3．∴m≥．
分析：（1）先根據(jù)A（-2k，2）是函數(shù)y=f^-1（x）圖象上的點(diǎn)，求得實(shí)數(shù)k的值，再求原函數(shù)的反函數(shù)即可．解答本題首先熟悉反函數(shù)的概念，然后根據(jù)反函數(shù)求解三步驟：1、換：x、y換位，2、解：解出y，3、標(biāo)：標(biāo)出定義域，據(jù)此即可求得反函數(shù)．
（2）要使2f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，分離出參數(shù)m后得：x++2≥3在x＞0時(shí)恒成立，利用只要（x++2）_min≥3．即可，從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反函數(shù)、函數(shù)恒成立問(wèn)題．求反函數(shù)，一般應(yīng)分以下步驟：（1）由已知解析式y(tǒng)=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數(shù)的定義域（一般可通過(guò)求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域）．