【題目】有2012位學(xué)者參加某數(shù)學(xué)會議，他們中有些人相互認(rèn)識，且滿足：

（1）每個(gè)人至少認(rèn)識其中的671個(gè)人；

（2）對于其中任意兩個(gè)人、，若、相互不認(rèn)識，則總可以通過其他人間接認(rèn)識，即存在，使得認(rèn)識，認(rèn)識，認(rèn)識；

（3）不可以將2012位學(xué)者排成一排，使得相鄰的兩個(gè)人相互認(rèn)識.

證明：可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識，另一組任何兩個(gè)人不認(rèn)識.

【答案】見解析

【解析】

將2012位學(xué)者看作2012個(gè)點(diǎn)，與相鄰當(dāng)且僅當(dāng)與相互認(rèn)識，這樣就得到了一個(gè)圖.

取最長的一條鏈，不妨設(shè).

由條件（3）知.

設(shè)表示與相鄰的點(diǎn)的集合.則、.

，，，.

由鏈的最長性，知對任意的，.

下面用反證法證明：.

假設(shè).則，矛盾.

故.

設(shè).則構(gòu)成一個(gè)圈.

對于余下的點(diǎn)：與不相連.除以外的任意兩點(diǎn)、，若與相連，則一定存在一條包含了、和的一條鏈，這樣就找到了比更長的鏈，矛盾.故與不相連.

綜上，可以將2012位學(xué)者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認(rèn)識，另一組任何兩人人不認(rèn)識.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若，證明 .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）

為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求

①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率

②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;

（2）商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，求整數(shù)所有可能的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面上有奇數(shù)條線段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設(shè)定方向的線段設(shè)定一個(gè)方向，直至某次（甲）設(shè)定后，所有線段各有了一個(gè)方向?yàn)橹?如果最后得到的所有向量之和的模長不小于原來每條線段長，則甲獲勝，否則乙獲勝.問：誰有必勝策略？證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于正整數(shù)，若存在1，2，…，的一個(gè)排列滿足

（），則稱為“循球數(shù)”.證明：

（1）9、11都是循環(huán)數(shù)；

（2）為循環(huán)數(shù)的一個(gè)必要不充分條件是為質(zhì)數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)的個(gè)子集滿足：（1）對任意的，恰有奇數(shù)個(gè)元素；（2）對任意的，都有.（3）若，則.試確定的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護(hù)知識，某校開展了“疫情防護(hù)”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

40

女生

50

合計(jì)

100

參考公式及數(shù)據(jù)：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案