Question

20．已知直線l經(jīng)過直線l₁：2x-y-1=0與直線l₂：x+2y-3=0的交點(diǎn)P，且與直線l₃：x-y+1=0垂直．
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l與圓C：（x-a）²+y²=8相交于P，Q兩點(diǎn)，且$|PQ|=2\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直線l₁：2x-y-1=0與直線l₂：x+2y-3=0聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)P（1，1），由l⊥l₃，求出斜率k_l=-1，由此能求出直線l的方程．
（2）圓心C到直線l的距離為$d=\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}$，由$|PQ|=2\sqrt{6}，r=2\sqrt{2}$，得到$d=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}=\sqrt{2}$，由此能求出a的值．

解答 （12分）
解：（1）直線l經(jīng)過直線l₁：2x-y-1=0與直線l₂：x+2y-3=0的交點(diǎn)P，
由$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1=0\\ x+2y-3=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，所以P（1，1）．
因?yàn)閘⊥l₃，所以k_l=-1，
所以直線l的方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．（6分）
（2）由已知可得：圓心C到直線l的距離為$d=\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}$，
因?yàn)?|PQ|=2\sqrt{6}，r=2\sqrt{2}$，所以$d=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}=\sqrt{2}$，
所以$\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}，即|a-2|=2$，
解得a=0或a=4．（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查圓、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．