Question

選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cosθ+2

3

sinθ
（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-2，

3

），直線l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)得到普通方程，借助于極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化公式進(jìn)行化簡即可；
（2）首先，聯(lián)立方程組，得到4x²+2x-3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，然后，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）根據(jù)直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數(shù)），
得

3

x-y+

3

=0，
根據(jù)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cosθ+2

3

sinθ，得
x²+y²=-2x+2

3

y，
∴（x+1）²+（y-

3

）²=4，
（2）聯(lián)立方程組

3 x-y+ 3 =0 (x+1)2+(y- 3 )2=4

，得
4x²+2x-3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，
∴|PA|•|PB|=

(x1+2)2+(y1- 3 )2

•

(x2+2)2+(y2- 3 )2

=

4x12+2x1-3+2x1+7

•

4x22+2x2-3+2x2+7

=

2x1+7

•

2x2+7

=

4x1x2+14(x1+x2)+49

=

4×(- 3 4 )+14×(- 1 2 )+49

=

39

．
∴|PA|•|PB|=

39

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．