Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-alnx，（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)$h（x）=f（x）+\frac{1+a}{x}$，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若$g（x）=-\frac{1+a}{x}$，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，當(dāng)x=1時，f（1）=1，曲線f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1）=-1，曲線f（x）在（1，1）處的切線方程：y-1=-（x-1），x+y-2=0；
（2）求導(dǎo)h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，當(dāng)a＞-1時，令h′（x）＞0，求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)h′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)a≤-1時，h′（x）＞0恒成立，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由題意可知：在[1，e]上存在一點x₀，使得h（x₀）≤0，因此函數(shù)h（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$在[1，e]上的最小值[h（x）]_min≤0，分類，當(dāng)a＞-1及當(dāng)a≤-1時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得[h（x）]_min的值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，則f（x）=x-2lnx，求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)x=1時，f（1）=1，
曲線f（x）在（1，1）處的切線斜率k=f′（1）=1-$\frac{2}{1}$=-1，
∴曲線f（x）在（1，1）處的切線方程：y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程x+y-2=0；
（2）$h（x）=f（x）+\frac{1+a}{x}$=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$，定義域為（0，+∞），
求導(dǎo)h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a＞-1時，令h′（x）＞0，解得：x＞a+1；
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1+a，
故h（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤-1時，h′（x）＞0恒成立，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上可知：當(dāng)a＞-1時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（0，a+1），單調(diào)遞減區(qū)間（a+1，+∞）；當(dāng)a≤-1時，單調(diào)遞增區(qū)間（0，+∞）；
（3）由題意可知，在[1，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，
∴在[1，e]上存在一點x₀，使得h（x₀）≤0，
即函數(shù)h（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$在[1，e]上的最小值[h（x）]_min≤0，
由（2）可知：（Ⅰ）當(dāng)a＞-1時：①當(dāng)a+1≥e時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴[h（x）]_min=h（e）=e+$\frac{1+a}{e}$≤0，則a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$，
∵$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$＞e-1，
∴a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$；
②當(dāng)a+1≤1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤-2，不滿足題意；
③當(dāng)1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1，
∴[h（x）]_min=h（1+1）=2+a-aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，
∴0＜aln（1+a）＜a，
∴h（1+a）＞2，此時不存在x₀使得h（x₀）≤0成立，
（Ⅱ）當(dāng)a≤-1時：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1+1+a≤0，即a≤-2，
綜上所述，a的取值范圍是：a≥$\frac{{e}^{2}+1}{e-1}$或a≤-2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程，考查分類討論思想，屬于中檔題．