Question

已知函數(shù)y=|cosx+sinx|．
（1）畫(huà)出函數(shù)在x∈[-

π

4

，

7π

4

]上的簡(jiǎn)圖；
（2）寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期和在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調(diào)遞增區(qū)間；試問(wèn)：當(dāng)x在R上取何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？
（3）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且y²=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,三角形的形狀判斷

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可畫(huà)出函數(shù)在x∈[-

π

4

，

7π

4

]上的簡(jiǎn)圖；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期和在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調(diào)遞增區(qū)間，并求出最值．
（3）求出x的大小即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）∵y=|cosx+sinx|=

2

|sin（x+

π

4

）|，
∴當(dāng)x∈[-

π

4

，

7π

4

]時(shí)，其圖象如圖所示．

（2）函數(shù)的最小正周期是π，在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

4

，

π

4

]；由圖象可以看出，
當(dāng)x=kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)有最大值，最大值是

2

．
（3）若x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，則有0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π．
由y²=1得|cosx+sinx|²=1．
即1+sin2x=1，即sin2x=0，
則2x=π，解得x=

π

2

，
即△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象，單調(diào)性，最值性質(zhì)的求解和應(yīng)用．