Question

1．函數(shù)f（x）=|x-a|，a＜0
（Ⅰ）若a=-2求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=-2，分類討論，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{a}{2}$，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=|x+2|，
f（x）+f（2x）=|x+2|+|2x+2|＞2，
不等式可化為$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x-2-2x-2＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜-1}\\{x+2-2x-2＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+2+2x+2＞2}\end{array}\right.$
解得x∈（-∞，-2）∪（-$\frac{2}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x-a|+|2x-a|，
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=a-x+a-2x=2a-3x，則f（x）≥-a；
當(dāng)a$＜x＜\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）=x-a+a-2x=-x，則-$\frac{a}{2}$＜f（x）＜-a；
當(dāng)x≥$\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）=x-a+2x-a=3x-2a，則x≥-$\frac{a}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{a}{2}$，+∞），
因?yàn)椴坏仁絝（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，
即為$\frac{1}{2}＞-\frac{a}{2}$，
解得a＞-1，
由于a＜0，
則a的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．