Question

14．已知函數f（x）=|x|+|x-1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求實數m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實數m，n，p滿足m+n+p=$\frac{3}{2}$M，求證：mn+np+pm≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零點分段法去掉絕對值符號，轉化為不等式組，得出f（x）_min=1，由題意知，只需|m-1|≤1，解出m的范圍，即可求實數m的最大值M；
（Ⅱ）由基本不等式，可以解得m²+n²+p²≥mn+mp+np，將條件平方可得（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，代入m²+n²+p²≥mn+mp+np，即可證得．

解答 （Ⅰ）解：由已知可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，x＜0\\ 1，0≤x＜1\\ 2x-1，x≥1\end{array}\right.$，所以f（x）_min=1，
由題意知，只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，．
所以實數m的最大值M=2．
（Ⅱ）證明：∵m+n+p=$\frac{3}{2}$M=3，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2np+2mp=9，
∵m，n，p正實數，
∴m²+n²≥2mn，m²+p²≥2mp，n²+p²≥2np，
∴由均值不等式，得m²+n²+p²≥mn+np+mp（當且僅當m=n=p時取等號），
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2np+2mp=9≥3mn+3np+3mp，
∴mn+np+pm≤3（當且僅當m=n=p時取等號）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法、基本不等式等基礎知識，考查學生的轉化能力和計算能力，屬于中檔題．