Question

2．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=2，D為BC的中點．則直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答 解：分別以AB，AC，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），B（2，0，0），
C（0，4，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），
C₁（0，4，2），
∵D為BC的中點，∴D（1，2，0），
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$（0，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，2，-2），
設(shè)平面A₁C₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，
得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
又cos＜$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{4}{3\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，
∴直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查向量法的合理運用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．