Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）ln（x-1）．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=-a（x-1）+f（x）在區(qū)間[2，e²+1]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若k∈Z，且f（x）+x-1-k（x-2）＞0對x＞2恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出函數(shù)g（x）=-a（x-1）+f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)在區(qū)間[2，e²+1]上不單調(diào)，列出不等式組，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用f（x）+x-1-k（x-2）＞0求出k的不等式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解新函數(shù)在x＞2的最小值，利用恒成立，即可求k的最大值．

解答： 解：（1）g'（x）=-a+1+ln（x-1）在（1，+∞）上遞增              …（1分）
由已知，有

g′(2)=-a+1＜0 g′(e2+1)=-a+3＞0

解得1＜a＜3
∴a的取值范圍為（1，3）．…（4分）
（2）由題知k＜

(x-1)ln(x-1)+x-1

x-2

對x＞2恒成立．…（5分）
令u（x）=

(x-1)ln(x-1)+x-1

x-2

則u'（x）=

-ln(x-1)+x-3

(x-2)2

令v（x）=-ln（x-1）+x-3v′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
∵x＞2∴v'（x）＞0即v（x）在（2，+∞）上遞增                 …（8分）
又∵v（4）=-ln3+1＜0，v（5）=-2ln2+2＞0
∴?x₀∈（4，5），使得v（x₀）=0，即u'（x₀）=0
∴u（x）在（4，x₀）上遞減，在（x₀，5）上遞增．…（10分）
∴[u(x)]min=u(x0)=

(x0-1)ln(x0-1)+(x0-1)

x0-2

=

(x0-1)(x0-3)+(x0-1)

x0-2

=x0-1∈(3，4)
k＜[u（x）]_min=x₀-1
又∵k∈Z，∴k的最大值為3．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度較大．