Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
（1）證明：CP⊥BD；
（2）若AP=PC=2 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC=CD，即△BCD為等腰三角形，

又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∵CP平面PAC，∴CP⊥BD

（2）解：如圖，記BD交AC于點E，作PO⊥AC于點O，

則PO⊥底面ABCD，

∵AP=PC=2 ，AC=4，∴∠APC=90°，PO=2，

則EC=CDcos60°=1，ED=CDsin60°= ，

以O(shè)為坐標(biāo)原點，平行于DB的直線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，﹣2，0），B（ ，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

∴ ， ．

設(shè)平面PAB的一個法向量為 ，則 ，取z=1，則 ；

設(shè)平面PBC的一個法向量為 ，則 ，取z=1，則 ．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能證明CP⊥BD；（2）作PO⊥AC于點O，則PO⊥底面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，平行于DB的直線為x軸，OC所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，求得平面PAB與平面PBC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．