Question

如圖，已知四棱錐的底面的菱形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，

（1）求證：；

（2）若的大��；

（3）在（2）的條件下，求異面直線與所成角的余弦值。

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718563922442270/SYS201411171856450996903199_DA/SYS201411171856450996903199_DA.003.png">平面，所以是 在平面 內(nèi)的射影，要證 ，只要證，連結(jié)，由題設(shè)易知三角形為正三角形，而是其邊 上的中線，所以.

（2）由（1）知， ,而且 ，可以發(fā)現(xiàn)為二面角的平面角，再利用直角姑角形求其大��；

（3）取 中點(diǎn) ，連結(jié)易證 ， 與 所成的角就是 與 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.

試題解析：解答一：（1）在菱形中，連接則是等邊三角形。

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)

平面

是斜線在底面內(nèi)的射影

（2）

菱形中,

又平面,是在平面內(nèi)的射影

為二面角的平面角

在菱形中,，由（1）知，等邊三角形

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與互相平分

點(diǎn)是的重心

又在等邊三角形中，

所以在中，

二面角的大小為.

(3)取中點(diǎn)，連結(jié)，

則

與所成角與所成角

連結(jié)

平面,、平面

在中,

在中,

在中,

由（2）可知，

設(shè)與所成的角為

則

所以異面直線、所成角的余弦值為

解法二：（1）同解法一；

（2）過點(diǎn)作平行線交于,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的坐標(biāo)系

設(shè)平面的一個法向量為

則,即

不妨設(shè)

二面角的大小為

（3）由已知，可得點(diǎn)

即異面直線所成角的余弦值為

考點(diǎn)：1、三垂線定理；2、二面角及其平面角；3、異面直線所成的角.